Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте,  дорогой читатель. Напишем еще три новые функции.

Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка. В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем  функцию — VektorMulti().

Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения  «<» (строго меньше) для вещественных чисел.

Решение
Пусть даны два отрезка. Первый задан точками . Второй задан точками .

Рассмотрим отрезок и точки и .

Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки и , лежали по разные стороны от прямой , достаточно, чтобы выполнялось условие < 0 ( векторные произведения имели противоположные  знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка и точек и .

Итак, если , то отрезки пересекаются.

Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

где:

ax, ay — координаты первого вектора,

bx, by — координаты второго вектора.

Program geometr4;
{Пересекаются ли 2 отрезка?}
Const _Eps: Real=1e-4; {точность вычслений}
var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real;
var v1,v2,v3,v4: real;

function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; {Строго меньше}
begin
  RealLess := b-a> _Eps
end; {RealLess}

function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real;
{ax,ay - координаты a
 bx,by - координаты b }
begin
  vektormulti:= ax*by-bx*ay;
end;

Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean;
{Пересекаются ли отрезки?}
begin
  v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3);
  v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3);
  v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1);
  v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1);
  if RealLess(v1*v2,0) and RealLess(v3*v4,0)
    {v1v2<0  и v3v4<0, отрезки пересекаются}
    then LinesCross:= true
    else LinesCross:= false
end; {LinesCross}

begin {main}
  writeln('Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4');
  readln( x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4);
  if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4)
    then writeln ('Да')
    else writeln ('Нет')

end.

Результаты выполнения программы:

Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.

На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.

Уважаемый читатель. Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.

С уважением, Вера Господарец.