Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте,  дорогой читатель. Напишем еще три новые функции.

Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка. В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем  функцию — VektorMulti().

Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения  «<» (строго меньше) для вещественных чисел.

Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки, не находя точку пересечения.

Решение
Пусть даны два отрезка. Первый задан точками Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?. Второй задан точками Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?.

Пересекающиеся отрезки-1

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Векторные произведения
Рассмотрим отрезок clip_image010 и точки clip_image012 и clip_image014[1].

Пересекающиеся прямые-2
Точка Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?лежит слева от прямой clip_image010[1], для нее векторное произведение clip_image019 > 0, так как векторы положительно ориентированы.

Точка clip_image014[1] расположена справа от прямой, для нее векторное произведение clip_image022< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки clip_image012[2] и clip_image014[2], лежали по разные стороны от прямой clip_image010[2], достаточно, чтобы выполнялось условие clip_image024< 0 ( векторные произведения имели противоположные  знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка clip_image026 и точек clip_image028 и clip_image030.

Итак, если clip_image032, то отрезки пересекаются.

Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?

где:

ax, ay — координаты первого вектора,

bx, by — координаты второго вектора.

Program geometr4;
{Пересекаются ли 2 отрезка?}
Const _Eps: Real=1e-4; {точность вычслений}
var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real;
var v1,v2,v3,v4: real;
function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; {Строго меньше}
begin
  RealLess := b-a> _Eps
end; {RealLess}
function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real;
{ax,ay - координаты a
 bx,by - координаты b }
begin
  vektormulti:= ax*by-bx*ay;
end;
Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean;
{Пересекаются ли отрезки?}
begin
  v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3);
  v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3);
  v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1);
  v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1);
  if RealLess(v1*v2,0) and RealLess(v3*v4,0)
    {v1v2<0  и v3v4<0, отрезки пересекаются}
    then LinesCross:= true
    else LinesCross:= false
end; {LinesCross}
begin {main}
  writeln('Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4');
  readln( x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4);
  if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4)
    then writeln ('Да')
    else writeln ('Нет')

end.

Результаты выполнения программы:

Введите координаты отрезков: -1  1 2 2.52 2 1 -1 3
Да.

Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.

На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.

Уважаемый читатель. Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.

С уважением, Вера Господарец.

6 Комментария “Урок 32. Пересекаются ли два отрезка?

  1. Класс! Вот как всё просто. Есть опечаточка где формула произведения (вместо «*» поставлен «-«)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *